Question

2．正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，交CD于N，P为平面上一点，且$2\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OC}$，则$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值是（　　）

• A． $-\frac{3}{4}$
• B． -1
• C． $-\frac{7}{4}$
• D． -2

Answer 1

分析 根据$2\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OC}$得出2$\overrightarrow{OP}$的终点在线段BC上，即|2$\overrightarrow{OP}$|≥1，求出${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{4}$；又O是MN的中点，得出$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$≥$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×cosπ，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）的最小值即可．

解答 解：根据题意，$2\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OB}+（1-λ）\overrightarrow{OC}$，

∴2$\overrightarrow{OP}$的终点在线段BC上，
∴|2$\overrightarrow{OP}$|≥1，
∴|$\overrightarrow{OP}$|≥$\frac{1}{2}$，
∴${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥$\frac{1}{4}$；
又O是MN的中点，
∴$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$≥$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×cosπ=-2，
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OP}$）•（$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$）
=$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-$\overrightarrow{OP}$•（$\overrightarrow{OM}$+$\overrightarrow{ON}$）+${\overrightarrow{OP}}^{2}$≥-2-0+$\frac{1}{4}$=-$\frac{7}{4}$，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$的最小值是-$\frac{7}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理应用问题，是中档题．