题目内容
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，AA1=2a，M，N分别是棱BB1，DD1的中点．（Ⅰ）求异面直线A1M与B1C所成的角的余弦值；
（Ⅱ）求证：平面A1MC1⊥平面B1NC1．
考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由A1D∥B1C，又MA1=
，A1D=
，MD=
，可得cos∠MA1D=
．
（Ⅱ）取AA1的中点P，联结B1P，NP，MP，则B1P∥C1N，可得A1M⊥B1P，A1M⊥C1N，又B1C1⊥平面A1B，A1M?平面A1B，可得A1M⊥平面B1NC1．从而可证平面A1MC1⊥平面B1NC1．
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（Ⅱ）取AA1的中点P，联结B1P，NP，MP，则B1P∥C1N，可得A1M⊥B1P，A1M⊥C1N，又B1C1⊥平面A1B，A1M?平面A1B，可得A1M⊥平面B1NC1．从而可证平面A1MC1⊥平面B1NC1．
解答：
解：（Ⅰ）∵A1D∥B1C，∴∠MA1D是异面直线A1M与B1C所成的角（或补角）．
又MA1=
，A1D=
，MD=
，
∴cos∠MA1D=
．
∴A1M与B1C所成的角的余弦值为
…（4分）
（Ⅱ）取AA1的中点P，联结B1P，NP，MP，则B1PNC1为平行四边形，∴B1P∥C1N
又A1B1MP1为正方形，∴A1M⊥B1P，∴A1M⊥C1N，
又B1C1⊥平面A1B，A1M?平面A1B，∴B1C1⊥A1M，
∴A1M⊥平面B1NC1．
又A1M?平面A1MC1，∴平面A1MC1⊥平面B1NC1．…（8分）
（注意：若用向量法相应给分）
又MA1=
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∴cos∠MA1D=
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∴A1M与B1C所成的角的余弦值为
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（Ⅱ）取AA1的中点P，联结B1P，NP，MP，则B1PNC1为平行四边形，∴B1P∥C1N
又A1B1MP1为正方形，∴A1M⊥B1P，∴A1M⊥C1N，
又B1C1⊥平面A1B，A1M?平面A1B，∴B1C1⊥A1M，
∴A1M⊥平面B1NC1．
又A1M?平面A1MC1，∴平面A1MC1⊥平面B1NC1．…（8分）
（注意：若用向量法相应给分）
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，属于基本知识的考查．
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