Question

已知O为原点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆C：

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4）上任意两点，向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

），若p，q的夹角为

π

2

且椭圆的离心率e=

3

2

，求△AOB的面积是否为定值？

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程结合椭圆的离心率求得m的值，再由

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

•

q

=0得到
x1x2+

y1y2

4

=0，首先分析直线AB的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，利用根与系数关系得到A，B两点横纵坐标的乘积，代入x1x2+

y1y2

4

=0得到直线AB的斜率和截距的关系，然后写出△AOB的面积，最后结果不能把变量消掉，说明△AOB的面积不是定值．

解答： 解：由椭圆

x2

m

+

y2

4

=1（m＞4），得b=2，
∵e=

c

a

=

3

2

，
∴

c2

a2

=

a2-b2

a2

=1-

b2

a2

=

3

4

，则a²=16，即m=16．
∴椭圆的方程为

x2

16

+

y2

4

=1．
向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

），
由

p

，

q

的夹角为

π

2

，得

p

•

q

=0，即x1x2+

y1y2

4

=0，
当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，
联立

x2 16 + y2 4 =1 y=kx+m

，消去y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-16=0，
∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-16）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-16

1+4k2

，
∴4x₁x₂+y₁y₂=4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（4+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（4+k²）•

4m2-16

1+4k2

-

8k2m2

1+4k2

+m²=0，
化简得17m²-16k²-64=0，
S△AOB=

1

2

|-

m

k

||y₁-y₂|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

256k2-16m2+64

1+4k2

=16|m|•

4m2-15

17m2-60

．不是定值．

点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量在解题中的应用，考查了计算能力，是压轴题．