Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，DC=3，AD=1．E是DC上一点，且DE=1，连接AE，将△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB=30°，设AC与BE的交点为O．
（1）试用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

CD1

；
（2）求异面直线OD₁与BC所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）根据向量的基本定理即可得到结论．
（2）设异面直线OD₁与BC所成的角为θ，然后根据向量的夹角公式即可．

解答： 解：（1）

CD1

=

CE

+

ED1

=

AE

-

AC

+

AD1

-

AE

=-

AE

-

AB

-

AD1

 
（2）设异面直线OD₁与BC所成角的θ，
则cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|cos＜

OD1

，

BC

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 || AE |

|
∵

OD1

•

OE

=(

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

)•

AE

=

AD1

•

AE

-

1

2

AB

•

AE

-

1

2

AE

2=1×

2

×cos45°-

1

2

×2×

2

×cos45°-

1

2

×(

2

)2=-1，
|

OD1

|=

( AD1 - 1 2 AB - 1 2 AE )2

=

6

2

，
则cosθ=|cos＜

OD1

，

BC

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 || AE |

|=

1

6 2 × 2

=

3

3

故异面直线OD₁与BC所成角的余弦值是

3

3

．

点评：本题主要考查异面直线所成角的求解，利用向量法是解决本题的关键．