Question

抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆x²+5y²=5的左焦点，过点M（-1，1）引抛物线的弦使点M为弦中点．求弦所在的直线方程，并求出弦长．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出椭圆的左焦点，即为抛物线的焦点，得到抛物线方程，设抛物线的弦所在方程，联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，列出方程，求出k，注意检验判别式，再由弦长公式即可得到．

解答： 解：椭圆x²+5y²=5即为

x2

5

+y²=1的左焦点为（-2，0），
则抛物线方程为y²=-8x，
设抛物线的弦所在的直线为y-1=k（x+1），
联立抛物线的方程，消去y，得，k²x²+[2k（1+k）+8]x+（1+k）²=0，
则△=[2k（1+k）+8]²-4k²（1+k）²＞0，
x₁+x₂=-

2k(1+k)+8

k2

，x₁x₂=

(1+k)2

k2

由M（-1，1）为弦的中点，可得-

2k(1+k)+8

k2

=-2，
解得，k=-4，
则△＞0成立，则弦所在的直线方程为：4x+y+3=0；
则x₁+x₂=-2，x₁x₂=

1

4

，
则弦长为

1+(-4)2

•

(-2)2-4× 1 4

=

51

．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，抛物线的方程的求法，考查联立直线方程好额抛物线方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．