Question

17．（1）若$cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，求$\frac{{sin（θ-5π）cos（θ-\frac{π}{2}）cos（8π-θ）}}{{sin（θ-\frac{3π}{2}）sin（-θ-4π）}}$的值．
（2）求函数$f（x）=lg（2cosx-1）+\sqrt{49-{x^2}}$的定义域．

Answer 1

分析 （1）直接利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系式化简求解即可．
（2）通过对数的真数大于0，开偶次方被开方数非负，列出不等式组，然后求出函数的定义域．

解答 解：（1）$cosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，所以$\frac{{sin（θ-5π）cos（θ-\frac{π}{2}）cos（8π-θ）}}{{sin（θ-\frac{3π}{2}）sin（-θ-4π）}}$
=$\frac{（-sinθ）sinθcosθ}{cosθ（-sinθ）}$
=$sinθ=±\sqrt{1-{cos}^{2}θ}=±\frac{\sqrt{7}}{3}$
（2）由题意可知：$\left\{\begin{array}{l}cosx＞\frac{1}{2}\\ 49-{x^2}≥0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{{\begin{array}{l}{2kπ-\frac{π}{3}＜x＜2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z}\\{-7≤x≤7}\end{array}}\right.$，
得：$-7≤x＜-\frac{5π}{3}$或$-\frac{π}{3}＜x＜\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}＜x≤7$．
故函数的定义域为$\{x|-7≤x＜-\frac{5π}{3}或-\frac{π}{3}＜x＜\frac{π}{3}或\frac{5π}{3}＜x≤7\}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，诱导公式以及同角三角函数的基本关系式的应用，函数的定义域的求法，考查计算能力．