Question

7．已知三个球的表面积S₁，S₂，S₃，满足$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$=2$\sqrt{{S}_{3}}$，则它们的体积V₁，V₂，V₃满足的等量关系是$\root{3}{{V}_{1}}$+$\root{3}{{V}_{2}}$=2$\root{3}{{V}_{3}}$．

Answer 1

分析 利用三个球的表面积S₁，S₂，S₃，满足$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$=2$\sqrt{{S}_{3}}$，可得R₁+R₂=2R₃，表示出三个球的体积，求出三个半径，利用R₁+R₂=2R₃，推出结果．

解答 解：因为三个球的表面积S₁，S₂，S₃，满足$\sqrt{{S}_{1}}$+$\sqrt{{S}_{2}}$=2$\sqrt{{S}_{3}}$，
所以R₁+R₂=2R₃，
V₁=$\frac{4}{3}$πR₁³，所以，R₁=$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{1}}$
同理R₂=$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{2}}$，R₃=$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{3}}$．
由R₁+R₂=2R₃，得$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{1}}$+$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{2}}$=2•$\frac{\root{3}{6{π}^{2}}}{2π}$•$\root{3}{{V}_{3}}$．
它们的体积V₁，V₂，V₃满足的等量关系是：$\root{3}{{V}_{1}}$+$\root{3}{{V}_{2}}$=2$\root{3}{{V}_{3}}$．
故答案为：$\root{3}{{V}_{1}}$+$\root{3}{{V}_{2}}$=2$\root{3}{{V}_{3}}$．

点评 本题考查球的体积，考查计算能力，属于中档题．