Question

8．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为DD₁的中点，
（1）求证：BD₁∥平面ACE；
（2）求△ACE的面积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，令BD∩AC=F，连结EF，则EF∥BD₁，由此能证明BD₁∥平面ACE．
（2）由已知分别求出AF=$\sqrt{2}$，AE=$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{3}$，由此能求出△ACE的面积．

解答 证明：（1）连结BD，令BD∩AC=F，连结EF．（2分）
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F是DB的中点，又E是DD₁的中点，
∴EF∥BD₁（4分）
又EF?平面ACE，BD₁?平面ACE，
∴BD₁∥平面ACE．（6分）
（2）在正方形ABCD中，AB=2，AC=2$\sqrt{2}$，∴AF=$\sqrt{2}$，（8分）
在直角△ADE中，AD=2，DE=1，∴AE=$\sqrt{5}$，
在Rt△EAF中，EF=$\sqrt{E{A^2}-A{F^2}}$=$\sqrt{5-2}$=$\sqrt{3}$，（10分）
∴${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．