Question

已知a₁=2，且a_n+1=

2an

an+1

，求a_n．

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：原式可化简为

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

，令b_n=

1

an

，则有b_n+1-1=

1

2

（b_n-1）．可得{b_n-1}是等比数列，故通项公式b_n-1=（b₁-1）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．化简可得b_n=1-(

1

2

)n，从而可求得a_n．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a₁=2，且 a_n+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

2an

+

1

2

，
∴

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

，又

1

a1

=

1

2

，
令b_n=

1

an

，
则：

1

an+1

-

1

2an

=

1

2

化为：b_n+1-1=

1

2

（b_n-1）．
{b_n-1}是等比数列，首项为：-

1

2

，公比为

1

2

，
∴b_n-1=（b₁-1）(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n．
b_n=1-(

1

2

)n，
∴

1

an

=1-(

1

2

)n，
∴a_n=

2n

2n-1

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列，数列通项公式的求法，属于中档题．