Question

函数f（x）=ax³+3x²+3x（a≠0）．
（1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，通过导数为0，利用二次函数的根，通过a的范围讨论f（x）的单调性；
（2）当a＞0，x＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，推出f′（1）≥0且f′（2）≥0，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=ax³+3x²+3x，∴f′（x）=3ax²+6x+3，
令f′（x）=0，即3ax²+6x+3=0，则△=36（1-a）
①若a≥1时，则△≤0，f′（x）≥0，∴f（x）在R上是增函数；
②当0＜a＜1，△＞0，f′（x）=0方程有两个根，x₁=

-1+ 1-a

a

，x₂=

-1- 1-a

a

，
则当0＜a＜1时，则当x∈（-∞，x₂）或（x₁，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（x₂，x₁）时，f′（x）＜0．
故函数在（-∞，x₂），（x₁，+∞）是增函数；在（x₂，x₁）是减函数．
（2）当a＞0，x＞0时，f′（x）=3ax²+6x+3＞0，
故a＞0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当a＜0时，f（x）在区间（1，2）是增函数，
当且仅当：f′（1）≥0且f′（2）≥0，即有3a+9≥0且12a+15≥0，
解得-

5

4

≤a＜0，
故a的取值范围[-

5

4

，0）∪（0，+∞）．

点评：本题考查函数的导数的应用，判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类讨论思想的应用．