Question

已知函数f（x）=3x²-2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数f（x）的图象上
（1）求证：{a_n}为等差数列；
（2）设b_n=

3

an•an+1

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求使得T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立的最小正整数m．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意得S_n=3n²-2n，根据“n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”，可求数列的通项公式，再证明数列：{a_n}为等差数列；
（2）由（1）和条件求出b_n，利用裂项相消法求出T_n的表达式，再由n的范围求出T_n的范围，根据不等式恒成立求出满足条件的最大正整数m的值．

解答： 证明：（1）由题意得，S_n=3n²-2n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5，
当n=1时，a₁=S₁=1，符合上式，
所以a_n=6n-5，
则数列{a_n}以6为公差、1为首项的等差数列；
解：（2）由（1）得，a_n=6n-5，
所以b_n=

3

an•an+1

=

3

(6n-5)(6n+1)

=

1

2

（

1

6n-5

-

1

6n+1

），
则T_n=

1

2

[（1-

1

7

）+（

1

7

-

1

13

）+…+（

1

6n-5

-

1

6n+1

）]
=

1

2

（1-

1

6n+1

）
因为n∈N^*，所以

1

6n+1

＞0，即T_n=

1

2

（1-

1

6n+1

）＜

1

2

，
又T_n＜

m

20

对所有n∈N^*都成立，
所以

m

20

≥

1

2

，则m≥10，
所以满足条件的最小正整数m为：10．

点评：本题考查了数列a_n与S_n的关系，等差数列的通项公式，以及恒成立问题转化为求最值问题，注意等价转化思想的合理运用，试题具有一定的综合性．