Question

已知（1-2x）⁷=a₀+a₁x+ax₂²+…+a₇x⁷，
（1）求a₀+a₁+…+a₇的值；
（2）求a₀+a₂+a₄+a₆及a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（3）求各项二项式系数和；
（4）求二项式系数最大的项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（1）在所给的等式中，令x=1，可得a₀+a₁+…+a₇ 的值；
（2）在所给的等式中，令x=-1，则a₀-a₁+a₂-a₃…-a₇ 的值，从而求得a₀+a₂+a₄+a₆和a₁+a₃+a₅+a₇ 的值．
（3）各项二项式系数和为2⁷，计算可得结果．
（4）由于n=7，故当r=3或4时，二项式系数最大，根据通项公式求得二项式系数最大的项．

解答： 解：（1）在（1-2x）⁷=a₀+a₁x+ax₂²+…+a₇x⁷中，令x=1，可得a₀+a₁+…+a₇ =-1 ①．
（2）令x=-1，则a₀-a₁+a₂-a₃…-a₇ =2187 ②，
于是由①②求得a₀+a₂+a₄+a₆=1093，a₁+a₃+a₅+a₇的=-1094．
（3）各项二项式系数和为2⁷=128，
（4）由于n=7，故当r=3或4时，二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T₄=-280x³ ；T₅=560x⁴．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．