Question

4．已知双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），直线l：x+y-2=0，F₁，F₂为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．
（1）求双曲线Γ的方程；
（2）设Γ与l的交点为P，求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），即可求双曲线Γ的方程；
（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F₁PF₂的角平分线所在直线的方程．

解答 解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴双曲线方程为x²-y²=2；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-{y^2}=2\\ x+y-2=0\end{array}\right.⇒P（\frac{3}{2}，\frac{1}{2}）$，显然∠F₁PF₂的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，${k_{P{F_1}}}=\frac{1}{7}$，${k_{P{F_2}}}=-1$，于是$|\frac{{{k_{P{F_1}}}-k}}{{1+{k_{P{F_1}}}k}}|=|\frac{{{k_{P{F_2}}}-k}}{{1+{k_{P{F_2}}}k}}|⇒k=3$．∴$y-\frac{1}{2}=3（x-\frac{3}{2}）⇒3x-y-4=0$为所求．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线的夹角公式的运用，属于中档题．