Question

14．已知椭圆C₁，C₂均为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率均为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，其中C₁的焦点坐标分别为（-1，0），（1，0），C₂的左右顶点坐标为（-2，0），（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C₁，C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l与C₁，C₂相交于A，B，C，D四点，如图所示，试判断|AC|和|BD|的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C₁的焦距为2c₁，长轴为2a₁，短轴为2b₁，设椭圆C₂的焦距为2c₂，长轴为2a₂，短轴为2b₂，
利用已知条件，求出两个椭圆的几何量，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）|AC|=|BD|，①当直线l的斜率不存在时，显然有|AC|=|BD|．②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，设点A坐标为（x₁，y₁），点B坐标为（x₂，y₂），点C坐标为（x₃，y₃），点D坐标为（x₄，y₄），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理线段的中点是否相同．证明即可．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆C₁的焦距为2c₁，长轴为2a₁，短轴为2b₁，设椭圆C₂的焦距为2c₂，长轴为2a₂，短轴为2b₂，
依题意得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_1}{a_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{c_1}=1\\{a_1}^2={b_1}^2+{c_1}^2\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}\frac{c_2}{a_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a_2}=2\\{a_2}^2={b_2}^2+{c_2}^2\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=\sqrt{2}\\{b_1}=1\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{a_2}=2\\{b_2}=\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以椭圆C₁的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，
所以椭圆C₂的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…．（4分）
（Ⅱ）|AC|=|BD|．…．（5分）
①当直线l的斜率不存在时，显然有|AC|=|BD|．…．（6分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，
设点A坐标为（x₁，y₁），点B坐标为（x₂，y₂），
点C坐标为（x₃，y₃），点D坐标为（x₄，y₄），
将直线l的方程与椭圆C₁方程联立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{2}+{y^2}=1\end{array}\right.$，．…．（8分）
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（9分）
将直线l的方程与椭圆C₂方程联立可得$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}\right.$，
消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，．…．（11分）
所以有弦AD的中点与弦BC的中点重合，．…．（13分）
所以有|AC|=|BD|．…．（14分）

点评 本题考查直线与椭圆方程的综合应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．