Question

16．已知函数f（x）=x-alnx-1，$g（x）=\frac{x}{{{e^{x-1}}}}$，其中a为实数．
（Ⅰ）求函数g（x）的极值；
（Ⅱ）设a＜0，若对任意的x₁、x₂∈[3，4]（x₁≠x₂），$|{f（{x_2}）-f（{x_1}）}|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（Ⅱ）设$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，根据函数的单调性得到h（x）在[3，4]上为增函数，问题等价于f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁）设$u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，根据函数的单调性求出a的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）$g'（x）=\frac{1-x}{{{e^{x-1}}}}$，令g'（x）=0，得x=1，列表如下：

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
g'（x）	+	0	-
g（x）	↗	极大值	↘

∴当x=1时，g（x）取得极大值g（1）=1，无极小值；…（4分）
（Ⅱ）当a＜0时，f（x）=x-alnx-1，x∈（0，+∞），
∵$f'（x）=\frac{x-a}{x}＞0$在[3，4]恒成立，∴f（x）在[3，4]上为增函数，
设$h（x）=\frac{1}{g（x）}=\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$h'（x）=\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}＞0$在[3，4]上恒成立，
∴h（x）在[3，4]上为增函数，
不妨设x₂＞x₁，则$|{f（{x_2}）-f（{x_1}）}|＜|{\frac{1}{{g（{x_2}）}}-\frac{1}{{g（{x_1}）}}}|$等价于：f（x₂）-f（x₁）＜h（x₂）-h（x₁），即f（x₂）-h（x₂）＜f（x₁）-h（x₁），…（6分）
设$u（x）=f（x）-h（x）=x-alnx-1-\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，则u（x）在[3，4]上为减函数，
∴$u'（x）=1-\frac{a}{x}-\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}≤0$在[3，4]上恒成立，
∴$a≥x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$恒成立，∴$a≥{（{x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}}）_{max}}$，x∈[3，4]，…（8分）
设$v（x）=x-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}}}{x}$，∵$v'（x）=1-{e^{x-1}}+\frac{{{e^{x-1}}（{x-1}）}}{x^2}=1-{e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]$，
∴${e^{x-1}}[{{{（{\frac{1}{x}-\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{3}{4}}]＞\frac{3}{4}{e^2}＞1$，∴v'（x）＜0，v（x）为减函数，
∴v（x）在[3，4]上的最大值$v（3）=3-\frac{2}{3}{e^2}$，∴$a≥3-\frac{2}{3}{e^2}$，
∴a的最小值为$3-\frac{2}{3}{e^2}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．