Question

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{{\sqrt{2}c-a}}{cosA}=\frac{b}{cosB}$，D是BC边上的一点．
（Ⅰ） 求角B的大小；
（Ⅱ） 若AC=7，AD=5，DC=3，求AB的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据三角形内角和定理和正弦定理化简可得角B的大小；
（Ⅱ）根据余弦定理，求出∠ADC，在利用正弦定理即可求AB的长．

解答 解：（Ⅰ） 由$\frac{{\sqrt{2}c-a}}{cosA}=\frac{b}{cosB}$，
得$\sqrt{2}ccosB-acosB=bcosA$，即$\sqrt{2}ccosB=acosB+bcosA$，
根据正弦定理，$\sqrt{2}sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC$．
∴$cosB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
又0°＜B＜180°，
∴B=45°．
（Ⅱ） 在△ADC中，AC=7，AD=5，DC=3，
由余弦定理得$cos∠ADC=\frac{{A{D^2}+D{C^2}-A{C^2}}}{2AD•DC}$=$\frac{{{5^2}+{3^2}-{7^2}}}{2×5×3}=-\frac{1}{2}$，
∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，
在△ABD中，AD=5，∠B=45°，∠ADB=60°，
由正弦定理，得$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sinB}$，
故得AB=$\frac{AD•sin∠ADB}{sinB}=\frac{5sin60°}{sin45°}=\frac{{5×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{5\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．