Question

6．已知双曲线G以原点O为中心，过$（\sqrt{5}，\;4）$点，且以抛物线C：y²=4x的焦点为右顶点，那么双曲线G的方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

Answer 1

分析 根据题意，由抛物线方程可得其焦点坐标，即可得双曲线G的右顶点坐标，分析可得双曲线的焦点位置以及a的值，可以设其方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，将点$（\sqrt{5}，\;4）$坐标代入双曲线方程可得4-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解可得b²的值，将b²的值代入双曲线的方程，即可得答案．

解答 解：根据题意，抛物线C：y²=4x的焦点为（1，0），
即双曲线G的右顶点坐标为（1，0），
则该双曲线的焦点在x轴上，且其中a=1，设其方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又由双曲线过点$（\sqrt{5}，\;4）$，
则有5-$\frac{4}{{b}^{2}}$=1，解可得b²=4，
则双曲线G的方程为${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$；
故答案为：${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．

点评 本题考查双曲线的几何性质，关键是有抛物线的方程确定其焦点坐标，确定双曲线的右顶点坐标．