Question

14．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15．其中m∈N^*且m≥2，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和的最大值为（　　）

• A． $\frac{24}{143}$
• B． $\frac{1}{143}$
• C． $\frac{24}{13}$
• D． $\frac{6}{13}$

Answer 1

分析 根据求出首项和公差，得到数列的通项公式，再判断数列的前7项为正数，再根据裂项求和即可得到答案．

解答 解：∵S_m-1=13，S_m=0，S_m+1=-15，
∴a_m=S_m-S_m-1=0-13=-13，a_m+1=S_m+1-S_m=-15-0=-15，
又∵数列{a_n}为等差数列，
∴公差d=a_m+1-a_m=-15-（-13）=-2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（m{-1）a}_{1}+\frac{（m-1）（m-2）}{2}×（-2）=13}\\{m{a}_{1}+\frac{m（m-1）}{2}×（-2）=0}\end{array}\right.$，
解得a₁=13
∴a_n=a₁+（n-1）d=13-2（n-1）=15-2n，
当a_n≥0时，即n≤7.5，
当a_n+1≤0时，即n≥6.5，
∴数列的前7项为正数，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（15-2n）（13-2n）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{13-2n}$-$\frac{1}{15-2n}$）
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前n项和的最大值为$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{11}$-$\frac{1}{13}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{11}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+1-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{13}$）=$\frac{6}{13}$．
故选：D

点评 本题考查了等差数列的性质和等差数列的前n项和，以及数列的函数的特征和裂项求和，属于中档题．