Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长都相等，且侧棱垂直于底面，由B沿棱柱侧面经过棱CC₁到点A₁的最短路线长为2

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，设这条最短路线与交于点D．
（1）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长；
（2）求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积；
（3）在平面A₁BD内是否存在过点D的直线与平面ABC平行？并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）把三棱柱沿AA₁剪开，并展开如图所示，则BE=2

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，设棱长为a，在Rt△BEF中，4a²+a²=20，所以求得a=2；
（2）过A₁作B₁C₁的垂线A₁G，则容易说明A₁G就是四棱锥A₁-BCC₁B₁2高，所以根据四棱锥的体积公式即可求该四棱锥的体积；
（3）取A₁C的中点H，取A₁B的中点O，依次连接DH，HO，OD，则容易说明OD就是所找直线．

解答： 解：（1）将三棱柱沿AA₁剪开并展开和平面BCC₁B₁重合，如图所示，A₁点变成了E点，连接AE，与CC₁的交点就是D点，线段BE的长便是B到A₁的最短距离；
∴BE=2

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，设三棱柱的棱长为a，则：由图可知，(2a)2+a2=(2

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)2，∴a=2；
即三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2；
（2）过A₁作A₁G⊥B₁C₁，垂足为G，∵侧棱垂直于底面，∴BB₁⊥A₁G，即A₁G⊥BB₁，又A₁G⊥B₁C₁；
∴A₁G⊥平面BCC₁B₁，即A₁G是四棱锥A₁-BCC₁B₁的底面上的高，且A1G=

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，S底面BCC1B1=4；
∴四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积V=

4 3

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；
（3）连接A₁C，取A₁C的中点H，连接DH，∵D是CC₁的中点，∴DH∥AC，AC?平面ABC，DH?平面ABC，∴DH∥平面ABC；
取A₁B的中点O，连接HO，则HO∥BC，BC?平面ABC，∴OH∥平面ABC，HO∩DH=H；
∴平面DHO∥平面ABC，连接OD，则OD∥平面ABC；
即在平面A₁BD内存在过点D的直线OD与平面ABC平行．

点评：考查线面垂直的性质，线面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，面面平行的判定定理．