Question

给出下列命题：
 ①命题“?x∈R，x²+x+1＞0的否定是：?x∈R，x²+x=1＜0；
 ②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”；
 ③?x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
 ④向量

a

，

b

均是单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|

a

-

b

|＞1”是命题“q：θ∈[

π

2

，

5π

6

]”的充要条件．其中正确的命题的个数是（　　）

• A、4
• B、3
• C、2
• D、1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①写出命题“?x∈R，x²+x+1＞0的否定，可判断①的正误；
②写出命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题，可判断②的正误；
③③?x=y=0∈R，sin（0-0）=sin0-sin0=0，可判断③的正误；
④由p：|

a

-

b

|＞1⇒θ∈（

π

3

，π]，从而可判断④的正误．

解答： 解：①命题“?x∈R，x²+x+1＞0的否定是：?x∈R，x²+x=1≤0，①错误；
 ②命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题是“若ab≠0，则a≠0且b≠0”，②正确；
 ③?x=y=0∈R，sin（0-0）=sin0-sin0=0，③正确；
 ④向量

a

，

b

均是单位向量，其夹角为θ，则命题“p：|

a

-

b

|＞1”，
所以，|

a

-

b

|2=

a

2+

b

2-2

a

•

b

＞1，即1+1-2×1×1×cosθ＞1，
所以，cosθ＜

1

2

，又θ∈[0，π]，所以θ∈（

π

3

，π]；
命题“q：θ∈[

π

2

，

5π

6

]”，显然命题p不能⇒命题q，即充分性不成立，故④错误；
综上所述，正确的命题的个数2个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查命题的否定、否命题及特称命题、充分必要条件的判断的应用，属于中档题．