Question

4．设函数f（x）=-（x-1）²-blnx，其中b为常数．
（1）当b＞$\frac{1}{2}$时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点．

Answer 1

分析 （1）首先函数的定义域为（0，+∞），然后求出函数的导数f′（x），将f′（x）变形后，再结合x＞0和b＞$\frac{1}{2}$得f′（x）＞0，可得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不相等的实数根时，函数有极值．然后利用根的判别式算得当b＜$\frac{1}{2}$时，函数存在极值点，最后根据b≤0和0＜b＜$\frac{1}{2}$两种情况分别得出函数的极值点．

解答 解：（1）f′（x）=-2（x-1）-$\frac{b}{x}$=-$\frac{{2（x-\frac{1}{2}）}^{2}+b-\frac{1}{2}}{x}$，
当b＞$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，
函数f（x）在定义域（0，+∞）递减；
（2）①由（1），b＞$\frac{1}{2}$时，函数f（x）无极值点，
②b=$\frac{1}{2}$时，有2个相同的解x=$\frac{1}{2}$，
∴b=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）在（-1，+∞）无极值点，
③b＜$\frac{1}{2}$时，f′（x）=0有两个不同的解，
x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
∴（i）b≤0时，x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≤0∉（0，+∞），舍去，
而x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$≥1∈（0，+∞），
此时f′（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：

x	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	递增	极大值	递减

由此表可知：当b≤0时，f（x）有唯一极大值点，x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$，
（ii）   当0＜b＜$\frac{1}{2}$时，0＜x₁＜x₂＜1 此时，f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	递减	极小值	递增	极大值	递减

由此表可知：当0＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有一个极小值x₁=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一个极大值点x₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
综上所述：当且仅当b＜$\frac{1}{2}$时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有唯一最大值点x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$；
当0＜b＜$\frac{1}{2}$时，f（x）有一个极小值点x=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$和一个极大值点x=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{1-2b}}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性和含有字母参数的函数极值的讨论，属于中档题．