Question

14．在△ABC中，D是边BC上一点，且$\overrightarrow{BD}=3\overrightarrow{DC}，P$是线段AD上一个动点，若$\overrightarrow{|{AD}|}=2$，则$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$的最小值是（　　）

• A． -8
• B． -4
• C． -2
• D． 0

Answer 1

分析 通过向量的数量积以及向量的表示，化简数量积，利用因为$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，令|$\overrightarrow{PA}$|=t，转化数量积为t的二次函数，然后求解最小值．

解答 解：由于$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=$\overrightarrow{PA}$•[$\overrightarrow{PB}$+3（$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DC}$）]=$\overrightarrow{PA}$•[（$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{DC}$）+3$\overrightarrow{PD}$]，
因为$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，
所以$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{PD}$，
故于$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=4$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PD}$，
令|$\overrightarrow{PA}$|=t，
则$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$=4•t•（2-t）•cos180°=4[（t-1）²-1]≥-4，
故$\overrightarrow{PA}•（{\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}}）$的最小值是-4，
故选：B

点评 本题主要考查了向量数量积的应用，以及基本不等式的应用，同时考查了等价转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．