Question

12．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB∥DC，AB=2AD，若PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若PA=AB，求平面PBC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥AC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAC，由此能证明平面PAC⊥平面PBC．
（2）过点A作直线AF∥BC，过D作DF∥AC，交AF于F，以点A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）在△ABC中，AB=2BC，∠ABC=60°，
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC．
解：（2）过点A作直线AF∥BC，过D作DF∥AC，
交AF于F，
由（1）知BC⊥AC，∴AF⊥AC，
以点A为原点，AF为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设BC=a，则PA=AB=2a，∴P（0，0，2a），
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{3}a$，∴C（0，$\sqrt{3}a$，0），B（-a，$\sqrt{3}$a，0），
在Rt△ADF中，∠DAF=60°，∴AF=$\frac{a}{2}$，DF=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，D（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{BC}$=（a，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2a），$\overrightarrow{AD}$=（$\frac{a}{2}，\frac{\sqrt{3}a}{2}，0$），$\overrightarrow{PC}$=（0，$\sqrt{3}a$，-2a），
设平面PBC的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=ax=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}ay-2az=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面PAD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=2a{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\frac{a}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}，1，0$），
设平面PBC与平面PAD所成的锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{7}}{2}×2}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
平面PBC与平面PAD所成的锐二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．