Question

7．如图，在平面直角坐标系中，边长为a_n的一组正三角形A_nB_n-1B_n的底边B_n-1B_n依次排列在x轴上（B₀与坐标原点重合）．设{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，若所有正三角形顶点A_n在第一象限，且均落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则$\frac{a}{d}$的值为1．

Answer 1

分析 根据题意得，正三角形A₁B₀B₁的边长为a，利用正三角形的性质得出点A₁的坐标，又点A₁落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则点A₁的坐标适合抛物线方程，得到p=$\frac{3}{4}$a；又{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，同理得到点A₂的坐标且点A₂落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则有a=d，从而求出答案．

解答 解：由题意得，正三角形A₁B₀B₁的边长为a，
∴点A₁的坐标为（$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{2}$），
又∵点A₁落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则（$\frac{\sqrt{3}a}{2}$）²=2p×$\frac{a}{2}$，
∴p=$\frac{3}{4}$a，
又{a_n}是首项为a，公差为d的等差数列，a₂=a+d，
即正三角形A₂B₁B₂的边长为a+d，
∴点A₂的坐标为（a+$\frac{a+d}{2}$，$\frac{\sqrt{3}（a+d）}{2}$），
又∵点A₂落在抛物线y²=2px（p＞0）上，则[$\frac{\sqrt{3}（a+d）}{2}$]²=2p（a+$\frac{a+d}{2}$），
化简得（a-d）（2a+d）=0，∵2a+d＞0，
∴a=d，
则$\frac{a}{d}$的值为1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查数列与解析几何综合的知识点，本题是一道综合性的习题，解答本题的关键是准确求出正三角形的坐标后代入抛物线方程得出变量之间的关系式．