Question

16．已知平面内点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤12}\\{2x+y≥4}\\{y≥0}\end{array}\right.$，O为坐标原点，则目标函数z=$\frac{2y+6}{3x+9}$的取值范围为[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]．

Answer 1

分析 作出可行域，z表示区域内的点与D（-3，-3）连线的斜率的三分之二，数形结合可得．

解答 解：作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y≤12}\\{2x+y≥4}\\{y≥0}\end{array}\right.$所对应的可行域（如图阴影△ABC），
z=$\frac{2y+6}{3x+9}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{y+3}{x+3}$表示区域内的点与D（-3，-3）连线的斜率的三分之二，
数形结合可得当取区域内的点A（0，4）时，z取最大值$\frac{14}{9}$，
当取区域内的点B（6，0）时，z取最小值$\frac{2}{9}$．
∴目标函数z=$\frac{2y+6}{3x+9}$的取值范围为[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]
故答案为：[$\frac{2}{9}$，$\frac{14}{9}$]．

点评 本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．