Question

16．已知海岛B在海岛A的北偏东45°的方向上，两岛相距10海里．小船P从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时小船Q从海岛A出发，沿北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．
（1）求小船航行过程中，两船相距的最近距离；
（2）求小船P处于小船Q的正东方向时，小船航行的时间．

Answer 1

分析 （1）设航行时间为t，利用余弦定理求出PQ的表达式，求出最小值．
（2）小船P处于小船Q的正东方向时，∠APQ=45°，利用正弦定理求出AQ，

解答 解：（1）设航行时间为t，（0≤t≤5），则AP=10-2t，AQ=4t，∠PAQ=45°+15°=60°，
∴PQ²=（10-2t）²+（4t）²-2（10-2t）•4tcos60°=28t²-80t+100，
∴PQ²的最小值是$\frac{4×28×100-8{0}^{2}}{4×28}$=$\frac{300}{7}$．∴PQ的最小距离是$\frac{10\sqrt{21}}{7}$．
（2）当小船P处于小船Q的正东方向时，∠APQ=45°，∠AQP=75°，由正弦定理得：$\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{AP}{sin∠AQP}$，
∴$\frac{4t}{sin45°}=\frac{10-2t}{sin75°}$，解得t=10-5$\sqrt{3}$．∴当小船P处于小船Q的正东方向时，小船航行的时间为10-5$\sqrt{3}$小时．

点评 本题考查了利用正余弦定理解三角形的实际应用，是中档题．