Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx且f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）用定义证明f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）当x∈[-

1

2

，

3

2

]时，利用图象求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据条件f（2）=0，方程f（x）-1=0有两个相等的实数根，建立等式，求解a，b的值即可；
（2）直接根据函数单调性的定义证明为减函数即可；
（3）作出该函数在x∈[-

1

2

，

3

2

]上的图象，然后，根据图象得到最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²+bx，
∴f（2）=4a+2b=0，①
∵方程f（x）-1=0，得
ax²+bx-1=0有两个相等的实数根．
∴△=b²+4a=0 ②，
联立①②，解得
∴a=-1或a=0（舍），
∴b=2，
∴f（x）=-x²+2x，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=-x²+2x．
（2）任设x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=-x₁ ²+2x₁+x₂²-2x₂，
=（x₂-x₁）[2-（x₁+x₂）]，
∵1≤x₁≤x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＞2，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（3）如图示：

当x=1时，函数有最大值1，
当x=-

1

2

时，函数有最小值-

5

4

．

点评：本题重点考查了二次函数的图象与性质、数形结合思想等知识．属于中档题．考查比较综合，高考中对二次函数的考查力度有所加大，希望引起足够的重视．