Question

已知函数f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R）．
（1）试确定f（x）的定义域；
（2）如果函数F（x）=2f（x）-f（2x）有两个不同的零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由 函数f（x）的解析式可得 1+2^x•a＞0，分当a≥0时，和当a＜0时两种情况，分别求得f（x）的定义域．
（2）由题意可得2f（x）=f（2x）有两个不同的实数根，即（a²-2a）2^2x+2a•2^x-1=0 有两个不同的实数根，及方程（a²-2a）t²+2a•t-1=0 关于变量t有两个不同的正实数根，由△＞0，且两根之和大于0，两根之积大于0，求得a的范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=lg

1+2xa

2

（a∈R），∴1+2^x•a＞0，
∴当a≥0时，1+2^x•a＞0 恒成立，f（x）的定义域为R；
当a＜0时，由2^x＞-

1

a

，求得 x＞log2(-

1

a

)，f（x）的定义域为（log2(-

1

a

)，+∞）．
（2）由题意可得2f（x）=f（2x）有两个不同的实数根，即lg (

1+a•2x

2

)2=lg

1+2•22x

2

 有两个不同的实数根，
即  (

1+a•2x

2

)2=

1+2•22x

2

 有两个不同的实数根，即（a²-2a）2^2x+2a•2^x-1=0 有两个不同的实数根，
令t=2^x＞0，则有（a²-2a）t²+2a•t-1=0 关于变量t有两个不同的实数根，
∴△=8a（a-1）＞0，且两根之和

2a

2a-a2

＞0，两根之积

-1

a2-2a

＞0，求得1＜a＜2，
综上可得，a的范围为{a|1＜a＜2}．

点评：本题主要考查对数函数的定义域，方程根的存在性及个数判断，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．