Question

3．平面上两点A（-1，0），B（1，0），在圆C：（x-3）²+（y-4）²=4上取一点P，
（Ⅰ）x-y+c≥0恒成立，求c的范围
（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值
（Ⅲ）求|PA|²+|PB|²的最值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x-y+c≥0，得c≥y-x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ-3-2cosθ，即可求c的范围；
（Ⅱ）求出圆心C到直线x+y+1=0的距离为$4\sqrt{2}$，利用勾股定理求切线长的最小值；
（Ⅲ）设出的是PP（a，b），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值．

解答 解：（Ⅰ）由x-y+c≥0，得c≥y-x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ-3-2cosθ，所以$c≥2\sqrt{2}+1$
（Ⅱ）圆心C到直线x+y+1=0的距离为$4\sqrt{2}$，切线长的最小值为$\sqrt{{{（4\sqrt{2}）}^2}-{2^2}}=2\sqrt{7}$
（Ⅲ）设P（a，b），则|PA|²+|PB|²=2a²+2b²+2，a²+b²为圆C：（x-3）²+（y-4）²=4上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，$P（\frac{9}{5}，\frac{12}{5}）$；最大值为100，$P（\frac{21}{5}，\frac{28}{5}）$．

点评 本题考查圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．