Question

8．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线l：x=2的距离的比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（Ⅰ）求点M的轨迹．
（Ⅱ）是否存在点M到直线$\frac{x}{{\sqrt{2}}}$+y=1的距离最大？最大距离是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法，求出轨迹方程，即可求点M的轨迹．
（Ⅱ）设直线m平行于直线l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，联立椭圆方程，令关于y方程（t-y）²=1-y²的根的判别式为零解得t，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{|2-x|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化简得$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为2$\sqrt{2}$，2的椭圆．
（Ⅱ）设直线m平行于直线l，m：$\frac{x}{\sqrt{2}}$+y=t，联立椭圆方程，消去x，可得（t-y）²=1-y²，
令关于y方程（t-y）²=1-y²的根的判别式为零解得t=$±\sqrt{2}$．
当t=-$\sqrt{2}$时直线m与椭圆的交点到直线l的距离最远，d=$\frac{|1+\sqrt{2}|}{\sqrt{\frac{1}{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．