Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n=λ•2^n-1-1（λ∈R）
（1）求λ 值，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）将函数f（x）=a₃sin（a₂x）向左平移

π

6

个单位得到g（x）的图象，求g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据已知先写出数列的前三项，从而可求得λ的值，进而可求得求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先求f（x）=4sin2x，可得g（x）=4sin（2x+

π

3

），由-

π

6

≤x≤

π

6

，可得0≤2x+

π

3

≤

2π

3

，从而可求g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=λ•2^n-1-1，
∴a₁=S₁=λ-1，a₂=S₂-S₁=2λ-1-（λ-1）=λ，a₃=S₃-S₂=4λ-1-（2λ-1）=2λ，
∵{a_n}是等比数列，
∴a₂²=a₁a₃，即λ²=2λ（λ-1），解得λ=0（不合题意，舍去），或λ=2． 
∴在{a_n}中，a₁=1，公比q=

a2

a1

=2，
∴a_n=1×2^n-1=2^n-1． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₂=2，a₃=4，于是f（x）=4sin2x，
∴g（x）=4sin[2（x+

π

6

）]=4sin（2x+

π

3

）．  
∵-

π

6

≤x≤

π

6

，
∴0≤2x+

π

3

≤

2π

3

，
∴0≤4sin（2x+

π

3

）≤4，
即g（x）在[-

π

6

，

π

6

]上的最大值为4．

点评：本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，等比数列的性质，综合性较强，属于中档题．