Question

已知椭圆C：

x2

9

+

y2

4

=1和直线l：x-y-4=0，点P在直线l上，过点P作椭圆C的两切线PA、PB，A、B为切点，求证：当点P在直线l上运动时，直线AB恒过一定点．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P，A，B三点坐标：P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据椭圆的切线方程，分别写出切线PA，PB的方程．从而可得到直线AB的方程：

x0x

9

+

y0y

4

=1，而根据点P在l上，所以有y₀=x₀-4，带入直线AB的方程得到x₀（4x+9y）-36（y+1）=0，所以解

4x+9y=0 y+1=0

便得直线AB过的定点．

解答： 解：设点P（x₀，y₀），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据椭圆的切线方程：
L_PA：

x1x

9

+

y1y

4

=1，点P在该直线上，∴

x1x0

9

+

y1y0

4

=1   ①；
L_PB：

x2x

9

+

y2y

4

=1，点P在该直线上，∴

x2x0

9

+

y2y

4

=1  ②；
观察①②两式可知，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在直线

x0x

9

+

y0y

4

=1上；
∴直线AB的方程为：

x0x

9

+

y0y

4

=1；
又x₀-y₀-4=0；
∴y₀=x₀-4，带入直线AB的方程得，x₀（4x+9y）-36（y+1）=0；
∴解

4x+9y=0 y+1=0

得

x= 9 4 y=-1

；
∴直线AB恒过定点(

9

4

，-1)．

点评：考查椭圆的切线方程，以及点的坐标和直线方程的关系，对于直线所恒过定点的求法．