题目内容
函数f（x）=
，下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（ ）
|
| A、无论k为何值，均有2个零点 |
| B、无论k为何值，均有4个零点 |
| C、当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点 |
| D、当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点 |
考点：函数零点的判定定理
专题：函数的性质及应用
分析：因为函数f（x）为分段函数，函数y=f（f（x））+1为复合函数，故需要分类讨论，确定函数y=f（f（x））+1的解析式，从而可得函数y=f（f（x））+1的零点个数；
解答：
解：分四种情况讨论．
（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=e
＞1；
（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；
（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤-1，k2x≤-k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，
若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，
（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=
，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，
（5）x=0时，显然函数无零点；
综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；
故选：D．
（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=e
| 1 |
| e |
（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；
（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤-1，k2x≤-k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，
若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，
（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=
| 1 |
| e |
（5）x=0时，显然函数无零点；
综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；
故选：D．
点评：本题考查分段函数，考查复合函数的零点，解题的关键是分类讨论确定函数y=f（f（x））+1的解析式，考查学生的分析能力，是一道中档题．
练习册系列答案
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