Question

已知数列{a_n}满足a₁=a，a_n+1=2a_n+

λ

an

，（a，λ∈R）
（Ⅰ）若λ=-2，数列{a_n}单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若a=2，试写出a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件，并证明你的结论．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,数列的函数特性

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法,简易逻辑

分析：（Ⅰ）当λ=-2时，a_n+1=2a_n-

2

an

，由{a_n}单调递增，得出a_n+1＞a_n，求出a_n的取值范围，即得a的取值范围．
（Ⅱ）a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件是λ≥-4，应证明必要性与充分性都成立．

解答： 解：（Ⅰ）若λ=-2，则a_n+1=2a_n-

2

an

，
∵a_n+1＞a_n，∴a_n+1-a_n＞0，
∴a_n-

2

an

＞0，
即

an2-2

an

＞0，
解得a_n＞

2

 或-

2

＜a_n＜0，
只需a₁＞

2

 或-

2

＜a₁＜0，
即a＞

2

 或-

2

＜a＜0，
∴实数a的取值范围是（-

2

，0）∪（

2

，+∞）；
（Ⅱ） a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件为λ≥-4；
必要性：a_n≥2时，设a_n+1=2a_n+

λ

an

≥2，则λ≥-2an2+2a_n，
令f（n）=-2(an-

1

2

)2+

1

2

，其中a_n≥2，
∴f（n）_max=f（

1

2

）=-4，即λ≥-4，必要性成立；
充分性：用数学归纳法证明λ≥-4时，对一切n∈N^*，a_n≥2成立；
证明：（1）显然n=1时，结论成立；
（2）假设n=k（k≥1）时结论成立，即a_k≥2，
当n=k+1时，a_k+1=2a_k+

λ

ak

；
考察函数f（x）=2x+

λ

x

，x∈[2，+∞），
①若-4≤λ≤0，由f′（x）=2-

λ

x2

＞0，知f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，
由假设得a_k+1=2a_k+

λ

ak

≥4+

λ

2

≥2；
②若λ＞0，对x∈[2，+∞）总有f（x）=2x+

λ

x

＞4＞2，
则由假设得a_k+1=2a_k+

λ

ak

＞2；
所以，n=k+1时，结论成立，
综上可知：当λ≥-4时，对一切n∈N^*，a_n≥2成立；
所以，a_n≥2对任意n∈N^*成立的充要条件是λ≥-4．

点评：本题考查了数列的函数特征以及充分与必要条件的证明和不等式的应用问题，是综合性题目．