Question

已知数列{a_n}中，a₁=t（t为非零常数），其前n项和为S_n，满足a_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的n∈N^*，都有λa_n＞n（n+1）成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由数列递推式求出a₂，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）整理得到

an+1

an

=3 （n≥2），由等比数列的通项公式求出n≥2时的通项，验证n=1时不成立，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）把a_n代入λa_n＞n（n+1），利用数学转化思想方法把不等式恒等变形，分离参数λ，然后对t分类，利用数列的函数特性求得t在不同范围内的最值，则实数λ的取值范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=t，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2

an+1-

1

2

an，
即a_n+1=3a_n （n≥2），
又a₁=t≠0，
∴

an+1

an

=3 （n≥2），
又a₂=2S₁=2t，
∴当n≥2时，数列{a_n}是以a₂为首项，3为公比的等比数列．
∴an=2t•3n-2 (n≥2)，
又∵a₁=t不适合上式，
∴an=

t (n=1) 2t•3n-2(n≥2)

；
（Ⅱ）当t＞0时，λa_n＞n（n+1）成立，等价于λ大于

n(n+1)

an

的最大值．
当n=1时，有λ＞

2

t

，
当n≥2时，令bn=

n(n+1)

2t•3n-2

，
bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

n+1

2t•3n-1

(n+2-3n)=

1-n2

t•3n-1

＜0．
∴当n≥2时，数列{a_n}为递减数列，
∴当n≥2时，bn≤b2=

3

t

．
∴当t＞0时，λ＞

3

t

．
当t＜0时，λa_n＞n（n+1）成立，等价于λ大于

n(n+1)

an

的最小值．
当n=1时，有λ＜

2

t

，
当n≥2时，令bn=

n(n+1)

2t•3n-2

，
bn+1-bn=

(n+1)(n+2)

2t•3n-1

-

n(n+1)

2t•3n-2

=

n+1

2t•3n-1

(n+2-3n)=

1-n2

t•3n-1

＞0．
∴当n≥2时，数列{b_n}为递增数列，
∴当n≥2时，bn≥b2=

3

t

．
∴当t＜0时，λ＜

3

t

．
综上所述，当t＞0时，λ＞

3

t

；
当t＜0时，λ＜

3

t

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了由数列递推式求数列的通项公式，考查了与数列有关的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想方法，是中高档题．