Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上．
（1）求a₁，a₂；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b_n=

1

anan+1an+2

，求证数列{b_n}的前n项和T_n＜

1

60

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）把点P_n（n，S_n）代入函数f（x）=x²+2x，得到数列{a_n}的前n项和，分别取n=1，2求得a₁，a₂；
（2）直接由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出数列通项，验证a₁后得答案；
（3）把（2）中求得的数列的通项公式代入b_n=

1

anan+1an+2

，利用裂项相消法求和后证明不等式T_n＜

1

60

．

解答： （1）解：∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴Sn=n2+2n(n∈N*)，
∴a₁=S₁=3，
又a1+a2=S2=22+2×2=8，
∴a₂=5；
（2）解：由（1）知，Sn=n2+2n(n∈N*)，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1．
由（1）知，a₁=3=2×1+1满足上式，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1；
（3）证明：由（2）得，
bn=

1

(2n+1)(2n+3)(2n+5)

=

1

4

[

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

4

[

1

3×5

-

1

5×7

+

1

5×7

-

1

7×9

+…+

1

(2n+1)(2n+3)

-

1

(2n+3)(2n+5)

]
=

1

4

[

1

3×5

-

1

(2n+3)(2n+5)

]=

1

60

-

1

4(2n+3)(2n+5)

＜

1

60

．

点评：本题是数列与不等式的综合题，考查了数列的函数特性，训练了利用数列的前n项和求通项公式，考查了利用裂项相消法求数列的和，体现了放缩法证明不等式的解题思想，是中高档题．