Question

如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD中点.

(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值;

(2)求B点到平面PCD的距离;

(3)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

[解析]（1）在中, ,为中点，所以，又侧面底面，平面平面，平面，所以平面.

又在直角梯形中，连结，易得，所以以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，则   

，，，，

∴，易证平面，

∴是平面的法向量，.

∴直线与平面所成角的余弦值为.

（2）,

设平面的一个法向量为，

则，取，得.

∴点到平面的距离.

（3）存在.设（）,

∵,∴，

∴，∴.

设平面的一个法向量为，

则，取，得.

又平面的一个法向量为，

∵二面角的余弦值为，∴，

得，解得或（舍）,

∴存在点，使得二面角的余弦值为，且.