Question

（1）证明：cos2α+cos2β=2cos（α+β）cos（α-β）；
（2）在△ABC中，若A=

π

3

，求sin²B+sin²C的最大值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）左边=cos2α+cos2β=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]，由和差角公式展开化简可得；
（2）由三角形知识易得C=

2π

3

-B，B∈（0，

2π

3

），化简可得sin²B+sin²C=1+

1

2

sin（2B-

π

6

），由三角函数最值可得．

解答： （1）证明：左边=cos2α+cos2β
=cos[（α+β）+（α-β）]+cos[（α+β）-（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
+cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）
=2cos（α+β）cos（α-β）=右边，
原式得证；
（2）∵在△ABC中，A=

π

3

，∴C=

2π

3

-B，
∴B∈（0，

2π

3

），
∴sin²B+sin²C=sin²B+sin²（

2π

3

-B）
=sin²B+（

3

2

cosB+

1

2

sinB）²
=

5

4

sin²B+

3

2

sinBcosB+

3

4

cos²B
=

5

4

•

1-cos2B

2

+

3

2

•

1

2

sin2B+

3

4

•

1+cos2B

2

=1+

3

4

sin2B-

1

4

cos2B=1+

1

2

sin（2B-

π

6

）
∵B∈（0，

2π

3

），∴2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
∴当2B-

π

6

=

π

2

时，上式取到最大值

3

2

点评：本题考查三角恒等式的证明和三角函数的值域，涉及三角形的边角关系，属中档题．