Question

已知函数f（x）=

1-x

ax

+lnx；
（1）当a=1时，若直线y=b与函数y=f（x）的图象在[

1

2

，2]上有两个不同交点，求实数b的取值范围；
（2）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）求证：对大于1的任意正整数n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,导数的综合应用,不等式

分析：（1）a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，fˊ（x）=

x-1

x2

，由导数的正负确定函数的单调性，从而求实数b的取值范围；
（2）函数f（x）在[1，+∞）上为增函数可化为f′（x）=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立；从而求a；
（3）由f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上为增函数可证明ln

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

，从而证明不等式．

解答： 解：（1）a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，令fˊ（x）=0得x=1；
当x变化时，f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
fˊ（x）		-	0	+
f（x）	1-ln2	单调递减	0	单调递增	ln2- 1 2

∵1-ln2-（ln2-

1

2

）=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4＞0，
∴b的取值范围为（0，ln2-

1

2

]；
（2）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）；
∵函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0对x∈[1，+∞）恒成立；
既ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

1

x

对x∈[1，+∞）恒成立；
∴a≥1；
（3）证明：当a=1时，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（1）=0，
∴

1

x

-1+lnx≥0，
∴lnx≥1-

1

x

，
当n＞1时，则

n

n-1

＞1，
∴ln

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

；
∴n＞1时，lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明与恒成立问题，属于难题．