Question

点M（1，1）位于椭圆

x2

4

+

y2

2

=1内，过点M的直线与椭圆交于两点A、B，且M点为线段AB的中点，求直线AB的方程及
|AB|的值．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，两式相减可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，即可解出k，可得直线AB的方程，把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式即可得出．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆的方程可得：

x 2 1

4

+

y 2 1

2

=1，

x 2 2

4

+

y 2 2

2

=1，
两式相减可得：

(x1+x2)(x1-x2)

4

+

(y1+y2)(y1-y2)

2

=0，
又x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，

y1-y2

x1-x2

=k，
∴

2

4

+

2k

2

=0，解得k=-

1

2

．
∴直线AB的方程为：y-1=-

1

2

(x-1)，化为x+2y-3=0．
联立

x+2y-3=0 x2+2y2=4

，化为3x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=

1

3

．
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 ×(22-4× 1 3 )

=

30

3

．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、“点差法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．