Question

已知函数f（x）=ax2-1（a＞0且a≠1）
（1）若函数y=f（x）的图象经过点P（

3

，4），求a的值；
（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；
（3）比较f（lg

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）与f（-2，1）的大小，并写出必要的理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：（1）运用代入法，解方程，即可得到a；
（2）f（x）为偶函数．再由奇偶性的定义，先求定义域，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）对a讨论：a＞1，0＜a＜1，判断函数在x＜0上的单调性，即可得到大小关系．

解答： 解：（1）∵f(

3

)=a2=4，∴a=2
（2）f（x）为偶函数．
理由如下：∵f（x）的定义域为R，且f(-x)=a(-x)2-1=ax2-1=f(x)，
∴f（x）为偶函数．
（3）∵f(lg

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)=f(-2)，
①当a＞1时，f（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵-2＞-2.1，∴f(lg

1

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)＜f（-2.1）；
②当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，0）上单调递增，
∵-2＞-2.1，∴f(lg

1

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)＞f（-2.1）．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性及运用：比较大小，考查运算能力，以及分类讨论思想方法，属于中档题．