Question

19．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，点M，N分别为A₁B 和B₁C₁的中点．
（1）证明：MN∥平面A₁ACC₁
（2）证明：A₁M⊥平面MAC．

Answer 1

分析 （1）取A₁B₁的中点D，连结MD、ND，推导出DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，从而平面DMN∥平面A₁ACC₁，由此能证明MN∥平面A₁ACC₁．
（2）推导出AM⊥A₁B，由余弦定理得AC=2$\sqrt{3}$，从而${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=4，进而CM⊥A₁B，由此能证明A₁M⊥平面MAC．

解答 证明：（1）取A₁B₁的中点D，连结MD、ND，
∵在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，点M，N分别为A₁B 和B₁C₁的中点，
∴DM∥AA₁，DN∥A₁C₁，
∵DM∩DN=D，AA₁∩A₁C₁=A₁，
DM，DN?平面DMN，AA₁，A₁C₁?平面A₁ACC₁，
∴平面DMN∥平面A₁ACC₁，
∵MN?平面DMN，∴MN∥平面A₁ACC₁．
（2）∵侧棱与底面垂直，AB=AA₁=2，∠ABC=60°，BC=4，
点M，N分别为A₁B 和B₁C₁的中点，
∴AM⊥A₁B，AC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×cos60°}$=2$\sqrt{3}$，
${A}_{1}C=\sqrt{A{{A}_{1}}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{4+12}$=4，∴CM⊥A₁B，
∵AM∩CM=M，∴A₁M⊥平面MAC．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．