Question

【题目】某工厂生产某种电子产品，每件产品合格的概率均为，现工厂为提高产品声誉，要求在交付用户前每件产品都通过合格检验，已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品，且每件产品检验合格与否相互独立．若每件产品均检验一次，所需检验费用较多，该工厂提出以下检验方案：将产品每个（）一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验一次或次．设该工厂生产件该产品，记每件产品的平均检验次数为．

（1）的分布列及其期望；

（2）（i）试说明，当越大时，该方案越合理，即所需平均检验次数越少；

（ii）当时，求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数．

Answer 1

【答案】（1）分布列详见解析，期望；（2）（i）详见解析；（ii）时平均检验次数最少，约次．

【解析】

（1）根据每个（）一组进行分组检验，如果某一组产品检验合格，则说明该组内产品均合格，若检验不合格，则说明该组内有不合格产品，再对该组内每一件产品单独进行检验，如此，每一组产品只需检验一次或次，每件产品的平均检验次数的可能取值为，，再利用独立事件和互斥事件求得概率列出分布列，再求期望

（2）（i）由（1）知，根据指数函数的单调性得到在上单调递减，从而得到结论. （ii）由（1）记，则由且取最小值时，该方案最合理求解.

（1）由题意，的可能取值为，

，，

故的分布列为

（2）（i）由（1），记，

因为．所以在上单调递减，

故越大，越小，即所需平均检验次数越少，该方案越合理．

（ii）记，当且取最小值时，该方案最合理，

因为，，，，．

所以时平均检验次数最少，约次．