题目内容
【题目】已知函数
（其中
为自然对数的底数）.
（1）证明：当
时，
；
（2）当时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）构造函数
，对其进行求导，再对导函数进行求导，进而判断出函数
在
上单调递增，结合
，从而证得
，即原不等式成立；
（2）先由特殊值
求得，再用反证法证明该范围能使
时不等式恒成立.由（1）的结论，当时将恒成立的不等式转化为
.由得
，则可构造函数
，证明
.利用导函数，以及重要不等关系“
”分别证明
时和
时，，则不等式得证，从而求得.
解：（1）令
，
所以
，
令
，
，
则
成立，
在
单调递增，
，即
成立，
所以
在单调递增，得
，
即当时，
，得证；
（2）因为当时，
恒成立，
令得
，所以，
下证当时原不等式成立
由（1）知当时，
只需证明，
因为当时，，
故只需证明
，
令，
所以
，
①当时，
成立，
在单调递增，
成立，
②当时，
由不等式知
，
所以
成立，
综上原不等式得证，故实数
的取值范围为：.
【题目】某省
年开始将全面实施新高考方案．在
门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为
，
，
，
，
共
个等级，各等级人数所占比例分别为
、
、、
和
，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．
（1）某校生物学科获得等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：
原始分 | 91 | 90 | 89 | 88 | 87 | 85 | 83 | 82 |
转换分 | 100 | 99 | 97 | 95 | 94 | 91 | 88 | 86 |
人数 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 1 |
现从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中生物转换分不低于
分的人数为
，求的分布列和数学期望；
（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分
服从正态分布
．若
，令
，则
，请解决下列问题：
①若以此次高一学生生物学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）
②现随机抽取了该省
名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记
为被抽到的原始分不低于
分的学生人数，求
取得最大值时
的值．
附：若，则
，
．
