Question

【题目】如图，在多面体中，正方形所在平面垂直于平面，是等腰直角三角形，，，.

（1）求证：平面；

（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取中点，连结，可证出四边形为平行四边形，利用等腰三角形和面面垂直的性质得出和，最后根据线面垂直的判定定理，即可证出平面；

（2）由题可知，两两垂直，故以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，利用空间向量法求线面的夹角，即可得出直线与平面所成角的正弦值.

解：（1）可取中点，连结，

，，

，

所以四边形为平行四边形，

则，

由于是等腰直角三角形，

则，

而正方形所在平面垂直于平面，且，

平面，平面，

，即，而，

平面，而，

平面.

（2）易知两两垂直，故以为坐标原点，

分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，

则各点坐标如下：，

，

则，，

设平面的法向量为，

则，即，

令，则，

平面的法向量为，

设直线与平面所成角为，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值为.