Question

2014年“雾霾”成为年度关键词．雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5日均值（微克/立方米）（空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的“元凶”． PM2.5日均值越小，空气质量越好．下面是国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如下表：

PM2.5日均值 （微克/立方米）	0--35	35--75	75--115	115--150	150--250	250以上
空气质量等级	1级优	2级良	3级 轻度污染	4级 中度污染	5级 重度污染	6级 严重污染

由全国重点城市环境监测网获得4月份某五天甲和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如图．
（Ⅰ）试根据上面的统计数据，分别计算两城市的PM2.5日均值的平均数，从计算结果看，哪个城市的空气质量较好？
（Ⅱ） 试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；
（Ⅲ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（I）由茎叶图可知甲乙两个城市PM2.5每天的日均值，代入平均数可得答案；进而比较两个平均数的大小可得哪个城市的空气质量较好；
（II）由茎叶图可知在抽取的五天中，甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频数为3，进而根据频率=

频数

样本容量

得到频率，进而估算出概率；
（Ⅲ）从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，共有25种不同情况，统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数，代入古典概型概率计算公式可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）乙城市的空气PM2.5日均值平均数为

66+68+85+88+98

5

=81…（1分）
甲城市的空气PM2.5日均值平均数为

59+83+87+95+116

5

=88…（2分）
乙城市的空气PM2.5日均值平均数小于甲城市，所以乙城市的空气质量较好．…（3分）
（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为

3

5

，
则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为

3

5

．        …（6分），
（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：
（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）
（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）
（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）
（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98）
（116，66），（116，68），（116，85），（116，88）（116，98）…（9分）
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95； 乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为：
（59，66），（59，68），
（83，85），（83，88），（83，98），
（87，85），（87，88），（87，98），
（95，85），（95，88），（95，98），．共11个结果．…（11分）
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为

11

25

．                   …（12分）

点评：本题考查等可能事件概率的求法，考查茎叶图，考查利用数学知识解决实际问题，属于中档题．