Question

记公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比数列．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式a_n及S_n；
（Ⅱ） 若c_n=2ⁿ•（

2

an

-λ），n=1，2，3，…，问是否存在实数λ，使得数列{c_n}为单调递减数列？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）直接由已知列式求得等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和公式得答案；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式a_n代入c_n=2ⁿ•（

2

an

-λ），由c_n+1-c_n分离λ后求出

4

n+2

-

2

n+1

的最大值得答案．

解答： 解：（Ⅰ） 由已知得：S3=9，a52=a3•a8，
∴

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)•(a1+7d)

，解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1，
Sn=

n(2+n+1)

2

=

n2

2

+

3

2

n；
（Ⅱ）由题知c_n=2n(

2

n+1

-λ)．
若使{c_n}为单调递减数列，
则c_n+1-c_n=2n+1(

2

n+2

-λ)-2n(

2

n+1

-λ)=2n(

4

n+2

-

2

n+1

-λ)＜0对一切n∈N^*恒成立，
即：

4

n+2

-

2

n+1

-λ＜0?λ＞(

4

n+2

-

2

n+1

)max，
又

4

n+2

-

2

n+1

=

2n

(n+2)(n+1)

=

2n

n2+3n+2

=

2

n+ 2 n +3

，
当n=1或2时，(

4

n+2

-

2

n+1

)max=

1

3

．
∴λ＞

1

3

．

点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和，考查了数列的函数特性，训练了分离变量法求参数的取值范围，是中档题．