Question

8．如图，三棱锥S-ABC中，点M，N，P分别为棱SA，SB，SC的中点，且∠PMN=90°．
（1）求证：平面PMN∥平面ABC；
（2）若平面SAC⊥平面ABC，求证：平面SAC⊥平面SAB．

Answer 1

分析 （1）推导出MP∥AC，MN∥AB，从而MP∥平面ABC，同理，MN∥平面ABC，由此能证明平面PMN∥平面ABC．
（2）由MP∥AC，MN∥BA，推导出∠CAB=∠PMN=90°，从而AB⊥AC，进而AB⊥平面SAC，由此能证明平面SAC⊥平面SAB．

解答 证明：（1）∵点M，N，P分别为SA、SB、SC的中点，
∴MP∥AC，MN∥AB，
又MP?平面ABC，AC?平面ABC，
∴MP∥平面ABC，
同理，MN∥平面ABC，
又MP∩MN=M，MP、MN?平面PMN，
∴平面PMN∥平面ABC．
（2）由（1）知MP∥AC，MN∥BA，
又∠PMN与∠CAB的对应边方向相同，
∴∠CAB=∠PMN=90°，∴AB⊥AC，
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，AB?平面ABC，
∴AB⊥平面SAC，又AB?平面SAB，
∴平面SAC⊥平面SAB．

点评 本题考查面面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．