Question

13．已知集合$A=\left\{{\frac{π}{7}，\frac{2π}{7}，\frac{3π}{7}，\frac{4π}{7}，\frac{5π}{7}，\frac{6π}{7}}\right\}$﹒
（1）若从集合A中任取一对角，求至少有一个角为钝角的概率；
（2）记$\overrightarrow a=（1+cosθ，1+sinθ）$，求从集合A中任取一个角作为θ的值，且使得关于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率．

Answer 1

分析 （1）从集合A中任取一对角，利用对立事件概率计算公式能求出至少有一个角为钝角的概率．
（2）方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解，推导出$|\overrightarrow{a}{|}^{2}$≥5．由${|{\overrightarrow a}|^2}={（1+cosθ）^2}+{（1+sinθ）^2}=3+2（sinθ+cosθ）$，求出$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$≥1，由此能求出从集合A中任取一个角作为θ的值，且使得关于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率．

解答 解：（1）∵集合$A=\left\{{\frac{π}{7}，\frac{2π}{7}，\frac{3π}{7}，\frac{4π}{7}，\frac{5π}{7}，\frac{6π}{7}}\right\}$﹒
∴从集合A中任取一对角，至少有一个角为钝角的概率：
$P=1-\frac{3}{15}=\frac{4}{5}$．
（2）方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解，即$△=4{|{\overrightarrow a}|^2}-4•5≥0⇒{|{\overrightarrow a}|^2}≥5$．
又${|{\overrightarrow a}|^2}={（1+cosθ）^2}+{（1+sinθ）^2}=3+2（sinθ+cosθ）$，
∴3+2（sinθ+cosθ）≥5，即sinθ+cosθ≥1．
∵$t=sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴若θ为锐角，$t∈（{1，\sqrt{2}}]$，若θ为钝角，t∈（-1，1），
∴θ必为锐角，
∴从集合A中任取一个角作为θ的值，
且使得关于x的一元二次方程${x^2}-2|{\overrightarrow a}|x+5=0$有解的概率$P=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．