Question

已知四面体ABCD，AD=CD，∠ADB=∠CDB=120°，且平面ABD⊥平面BCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥AC；
（Ⅱ）求直线CA与平面ABD所成角的大小．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出△ADB≌△CDB，由此证明AC⊥平面BDM，从而得到AC⊥BD．
（Ⅱ）过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，连结HA，由已知条件推导出∠CAH为CA与平面BAD所成角，由此能求出直线CA与平面ABD所成角的大小．

解答： （Ⅰ）证明：∵AD=DC，∠ADB=∠CDB=120°，BD=BD
∴△ADB≌△CDB
∴AB=BC，取AC中点M，
则MB⊥AC，DM⊥AC
∴AC⊥平面BDM，
∴AC⊥BD．
（Ⅱ）解：过点C作CH⊥BD交BD延长线于H，连结HA，
∵平面ABD⊥平面BCD，∴CH⊥平面BAD，
∴∠CAH为CA与平面BAD所成角，
∵DC=AD，∠ADH=∠CDH=60°，DH=DH，
∴△HAD≌△CDHk，
∴AH=HC
∴在Rt△HAC中，∠HAC=45°
∴直线CA与平面ABD所成角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，合理地化空间问题为平面问题．